Packages requis

• ape
• gclus
• vegan

install.packages(c('ape', 'gclus', 'vegan'))

Objectifs d'apprentissage

Utiliser R pour faire des ordinations sans contraintes

Faire un dendrogramme avec R

Une Dimension

Que se passe-t-il si nous voulons nous intéresser à la réponse de différentes espèces d'algues?

Deux Dimensions

Trois Dimensions

4,5,6, ou plus de Dimensions

Ordination en espace réduit

Ordination en espace réduit

• L'algèbre matricielle est complexe et difficile à comprendre

• Une compréhension générale est suffisante pour utiliser efficacement les méthodes d'ordination

Méthodes pour la recherche scientifique

• Questions / Hypothèses
• Design expérimental
• Collecte de données
• Transformation / Distance
• Analyses
• Rédaction
• Communication

Données de poissons de la rivière Doubs

Données de poissons de la rivière Doubs

Chargement des données espèces (Doubs.Spe.csv)

spe <- read.csv("data/doubsspe.csv", row.names = 1)
spe <-  spe[-8,] # supprimer le site vide

Chargement des données environnementales (Doubs.Env.csv)

env <- read.csv("data/doubsenv.csv", row.names = 1)
env <- env[-8,] # remove site with no data

Attention, n'exécuter qu'une seule fois

Exporation des données

Explorer le contenu des données espèces :

names(spe) # noms des objets
dim(spe) # dimensions
str(spe) # structure des objets
summary(spe) # résumé statistique
head(spe) # 6 premières lignes

#   CHA TRU VAI LOC OMB BLA HOT TOX VAN CHE BAR SPI GOU BRO PER BOU PSO ROT CAR
# 1   0   3   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
# 2   0   5   4   3   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
# 3   0   5   5   5   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1   0   0   0   0   0
# 4   0   4   5   5   0   0   0   0   0   1   0   0   1   2   2   0   0   0   0
# 5   0   2   3   2   0   0   0   0   5   2   0   0   2   4   4   0   0   2   0
# 6   0   3   4   5   0   0   0   0   1   2   0   0   1   1   1   0   0   0   0
#   TAN BCO PCH GRE GAR BBO ABL ANG
# 1   0   0   0   0   0   0   0   0
# 2   0   0   0   0   0   0   0   0
# 3   0   0   0   0   0   0   0   0
# 4   1   0   0   0   0   0   0   0
# 5   3   0   0   0   5   0   0   0
# 6   2   0   0   0   1   0   0   0

Fréquences des espèces

Observer la distribution de fréquence des espèces :

ab <- table(unlist(spe))
barplot(ab, las = 1, col = grey(5:0/5),
        xlab = "Abondance des classes", ylab = "Fréquence")

Notez la proportion de 0

Fréquences des espèces

Combien de zéros?

sum(spe == 0)
# [1] 408

Quelle proportion de zéros?

sum(spe == 0)/(nrow(spe)*ncol(spe))
# [1] 0.5210728

Richesse totale en espèce

Observer le nombre d'espèces présentes dans chaque site :

site.pre <- rowSums(spe > 0)
barplot(site.pre, main = "Richesse spécifique",
        xlab = "Sites", ylab = "Nombre d'espèces",
        col = "grey ", las = 1)

Comprenez vos données!

...pour choisir la transformation et la distance appropriée

• Y-a-t-il beaucoup de zéros?

• Que veulent-ils dire?

Une mesure de 0 (e.g 0mg/L, 0°C) n'est pas équivalent à un 0 représentant une absence d'observation.

Avant de transformer vos données de composition des communautés...

Considérations importantes:

• abondances/comptes/présence-absence relatives?
• distributions asymmétriques ?
• beaucoup d'espèces rares?
• surabondance d'espèces dominantes?
• problème de double Zéro?

Transformer les données de composition des communautés

Transformer les données de composition des communautés

Exemples

Transformer des comptes en présence - absence

library(vegan)
spec.pa <- decostand(spe, method = "pa")

Réduire le poids des espèces rares

spec.hel <- decostand(spe, method = "hellinger")
spec.chi <- decostand(spe, method = "chi.square")

Réduire le poids des espèces abondantes

spe.pa <- decostand(spe, method = "log")

Données sur l'environnement

names(env) # Names of objects
dim(env) # dimensions
str(env) # structure of objects
summary(env) # summary statistics
head(env) # first 6 rows

head(env) # first 6 rows
#    das alt  pen  deb  pH dur  pho  nit  amm  oxy dbo
# 1  0.3 934 48.0 0.84 7.9  45 0.01 0.20 0.00 12.2 2.7
# 2  2.2 932  3.0 1.00 8.0  40 0.02 0.20 0.10 10.3 1.9
# 3 10.2 914  3.7 1.80 8.3  52 0.05 0.22 0.05 10.5 3.5
# 4 18.5 854  3.2 2.53 8.0  72 0.10 0.21 0.00 11.0 1.3
# 5 21.5 849  2.3 2.64 8.1  84 0.38 0.52 0.20  8.0 6.2
# 6 32.4 846  3.2 2.86 7.9  60 0.20 0.15 0.00 10.2 5.3

Explorer la colinéarité en visualisant les corrélations entre les variables

pairs(env, main = "Bivariate Plots of the Environmental Data")

Données sur l'environnement

Standardisation

Standardiser les variables environnementales est indispensable car il est impossible de comparer des variables d'unités différentes :

## ?decostand
env.z <- decostand(env, method = "standardize")

Cette fonction centre-réduit les données pour permettre la fiabilité des analyses :

apply(env.z, 2, mean)
#           das           alt           pen           deb            pH 
# -7.959539e-17 -4.795165e-17  2.494600e-17 -7.323225e-17 -1.730430e-15 
#           dur           pho           nit           amm           oxy 
# -2.028505e-16  4.445790e-17  2.875893e-17  2.754434e-17 -4.038167e-16 
#           dbo 
#  9.829975e-17
apply(env.z, 2, sd)
# das alt pen deb  pH dur pho nit amm oxy dbo 
#   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1

Mesure d'association

L'algébre matricielle est au coeur de plusieurs méthodes d'analyses multivariées

• Explorer différentes mesures de distance entre objets permet de mieux comprendre le fonctionnement de l'ordination

Au-délà de la 1ère dimension

Similarité / Dissimilarité

• Utile pour comprendre vos données
• Certains types d'ordination ou de groupement nécessitent des mesures appropriées

Mesures de distance des communautés

Chaque mesure est utile dans différentes situations

Comparaison des sites de la rivière Doubs

La fonction vegdist() comprend les mesures de distances communes :

?vegdist

Comment la composition des communautés diffère-t-elle entre les 30 sites de la rivière Doubs?

spe.db.pa <- vegdist(spe, method = "bray")

Comparaison des sites

Comparaison des sites

Visualisation d'une matrice de distances

Défi #1

Discuter avec votre voisin:

Comment savoir si deux objets caractérisés par des données multidimensionnelles sont similaires?

• Faites une liste de vos suggestions

Et qu'en est-il de l'ordination?

Avec des méthodes d'ordination, nous ordonnons vos objets (sites) en fonction de leur similarité

• Plus les sites sont similaires, plus ils sont proches dans l'espace d'ordination (plus petites distances)

• En écologie, on calcule habituellement la similarité entre sites en fonction de leur composition en espèces ou de leur conditions environnementales.

Analyse schématique des analyses multivariées

Groupement

• Permet de mettre en lumière des structures dans les données en partitionnant les objets

• Les résultats sont représentés sous forme de dendrogramme (arbre)

• Pas une méthode statistique!

Aperçu de 3 méthodes hiérarchiques

• Groupement agglomératif à liens simples

• Groupement agglomératif à liens complets

• Groupement de Ward

• Les éléments de petits ensembles se regroupent en groupes plus vastes de rang supérieur
  • (e.g. espèces, genres, familles, ordres...)

Groupement hiérarchique

À partir d'une matrice de distances, on classe les objets en ordre croissant

Groupement à liens simples

Groupement à liens complet

Comparaison

Créer une matrice de distance à partir des données de la rivière Doubs transformées Hellinger et faire le groupement à liens simples :

spe.dhe1 <- vegdist(spec.hel, method = "euclidean")
spe.dhe1.single <- hclust(spe.dhe1, method = "single")
plot(spe.dhe1.single)

Comparaison

Groupement de Ward

• Utilise la méthode des moindres carrés pour lier les objets
  • les groupes fusionnent de façon à minimiser la variance intragroupe
  • à chaque étape, la paire de groupes à fusionner est celle qui résulte à la plus petite augmentation de la somme des carrés des écarts intra-groupes

Groupement de Ward

Faire le groupement de Ward et dessiner le dendrogramme en utilisant la racine carrée des distances :

spe.dhel.ward <- hclust(spe.dhe1, method = "ward.D2")
spe.dhel.ward$height <- sqrt(spe.dhel.ward$height)
plot(spe.dhel.ward, hang = -1) # hang = -1 aligns objects at the same level

Groupement de Ward

Les objets ont tendance à former des groupes plus sphériques et homogènes

Comment choisir la bonne méthode ?

• Dépend de votre objectif
  • démontrer des gradients? des contrastes?
• Si plus d'une méthode semble adéquate, comparer les dendrogrammes
• Encore une fois : ceci n'est pas une méthode statistique Mais! il est possible de:
  • déterminer le nombre de groupe optimal
  • faire des tests statistiques sur les résultats
  • combiner le groupement à l'ordination pour distinguer des groupes de sites

Définitions

• Variance: mesure de la dispersion d'une variable $y_j$ de sa moyenne
• Co-variance: mesure de co-dispersion des variables $y_j$ et $y_i$ de leur moyenne
• Corrélation: mesure de la force du lien entre 2 variables : $r_{ij} = (d_{ij} / d_j x d_k)$
• Valeurs propres: proportion de variance (dispersion) représentée par un axe d'ordination
• Orthogonalité: angle droit entre 2 axes ou 2 flèches, ce qui veut dire qu'ils sont indépendants = non corrélés
• Score: position d'un point sur un axe. Tous les scores d'un point donnent ses coordonnées dans l'espace multidimensionnel. Ils peuvent être utilisés pour d'autres analyses (e.g combinaison linéaire de variables mesurées)
• Dispersion (inertie): Mesure de la variabilité totale du diagramme de dispersion de l'espace multidimensionnel en fonction de son centre de gravité

Ordination non contrainte

• Évalue la relation dans un ensemble de variables (espèces ou variables environnementales, et non parmi les ensembles, i.e analyse sous contraintes)

• Trouve les composants clés de la variation entre échantillons, sites, espèces, etc...

• Réduit le nombre de dimensions dans les données multivariées sans perte d'informations considérables

• Créer de nouvelles variables pour des analyses ultérieures (comme la régression)

4.1. Analyse en Composantes Principales (ACP ou PCA)

• Préserve, en 2 dimensions, le maximum de variation des données
• Il en résulte des variables synthétiques orthogonales entre elles (et donc non corrélées)

PCA - Ce qu'il vous faut

• Un jeu de données correspondant à des variables réponses (eg. composition de communautés) OU à des variables explicatives (e.g variables environnementales)

PAS LES DEUX!

PCA - Principes

Un exemple simplifié

PCA - Principes

PCA - Principes

PCA - Principes

PCA - Principes

Le graphique final subit une rotation afin que les deux axes correspondent aux composantes principales (et non plus aux espèces)

PCA - Cas multidimensionnel

• PC1 --> axe qui maximise la variance des points projetés perpendiculairement sur les axes.
• PC2 --> doit être orthogonal à PC1, mamis sa direction maximise la variance des points projetés.
• PC3 --> et ainsi de suite : orthogonale à PC1 et PC2...

Quand il y a plus de deux dimensions, la PCA produit un nouvel espace dans lequel tous les axes sont orthogonaux (i.e. la corrélation entre les axes =0) et où les axes sont ordonnés selon le pourcentage de variation des données brutes qu'ils représentent (valeur propre).

PCA - Essayons sur les données Poissons!

• La PCA (tout comme la RDA) est implémentée par la fonction rda() de la librairie vegan

• Effectuer une PCA sur les abondances de poissons transformées Hellinger

spe.h.pca <- rda(spec.hel)
summary(spe.h.pca)
# 
# Call:
# rda(X = spec.hel) 
# 
# Partitioning of variance:
#               Inertia Proportion
# Total          0.5025          1
# Unconstrained  0.5025          1
# 
# Eigenvalues, and their contribution to the variance 
# 
# Importance of components:
#                          PC1     PC2     PC3     PC4     PC5     PC6     PC7
# Eigenvalue            0.2580 0.06424 0.04632 0.03850 0.02197 0.01675 0.01472
# Proportion Explained  0.5133 0.12784 0.09218 0.07662 0.04371 0.03334 0.02930
# Cumulative Proportion 0.5133 0.64118 0.73337 0.80999 0.85370 0.88704 0.91634
#                           PC8      PC9     PC10     PC11     PC12     PC13
# Eigenvalue            0.01156 0.006936 0.006019 0.004412 0.002982 0.002713
# Proportion Explained  0.02300 0.013803 0.011978 0.008781 0.005935 0.005399
# Cumulative Proportion 0.93934 0.953144 0.965123 0.973903 0.979838 0.985237
#                           PC14     PC15     PC16      PC17      PC18      PC19
# Eigenvalue            0.001835 0.001455 0.001118 0.0008309 0.0005415 0.0004755
# Proportion Explained  0.003651 0.002895 0.002225 0.0016535 0.0010776 0.0009463
# Cumulative Proportion 0.988888 0.991783 0.994008 0.9956612 0.9967389 0.9976852
#                            PC20      PC21      PC22      PC23      PC24
# Eigenvalue            0.0003680 0.0002765 0.0002253 0.0001429 7.618e-05
# Proportion Explained  0.0007324 0.0005503 0.0004483 0.0002845 1.516e-04
# Cumulative Proportion 0.9984176 0.9989678 0.9994161 0.9997006 9.999e-01
#                           PC25      PC26      PC27
# Eigenvalue            4.99e-05 1.526e-05 9.118e-06
# Proportion Explained  9.93e-05 3.036e-05 1.814e-05
# Cumulative Proportion 1.00e+00 1.000e+00 1.000e+00
# 
# Scaling 2 for species and site scores
# * Species are scaled proportional to eigenvalues
# * Sites are unscaled: weighted dispersion equal on all dimensions
# * General scaling constant of scores:  1.93676 
# 
# 
# Species scores
# 
#          PC1      PC2       PC3        PC4        PC5       PC6
# CHA  0.17336  0.08295 -0.064963  0.2539861 -0.0285801  0.019057
# TRU  0.64860  0.01162 -0.261994 -0.1606020 -0.0745819 -0.088616
# VAI  0.51810  0.14773  0.165304  0.0241017  0.1012928  0.104748
# LOC  0.38606  0.16615  0.242995 -0.0275216  0.1258011  0.048299
# OMB  0.16893  0.06274 -0.096143  0.2426514  0.0140574  0.062117
# BLA  0.07786  0.14644 -0.031402  0.2339394 -0.1032338 -0.040810
# HOT -0.18491  0.04901 -0.045107  0.0199377  0.0687305  0.009650
# TOX -0.14644  0.17834 -0.010937  0.0649955 -0.0006229 -0.106955
# VAN -0.11436  0.15673  0.142223 -0.0127266 -0.1989404  0.013897
# CHE -0.09682 -0.15449  0.242943  0.1124210  0.0233830 -0.039996
# BAR -0.19826  0.21211 -0.053980  0.0969899  0.0067098 -0.035442
# SPI -0.17689  0.16250 -0.033112  0.0397113  0.0323159 -0.072908
# GOU -0.23138  0.09782  0.064144 -0.0013887 -0.1503303  0.130575
# BRO -0.15129  0.12804  0.040303 -0.1203826 -0.1006077  0.066242
# PER -0.15719  0.18144  0.057029 -0.0940032 -0.0412984 -0.060409
# BOU -0.22853  0.13870 -0.062197 -0.0125024  0.0798647 -0.006907
# PSO -0.22790  0.08231 -0.065797  0.0172143  0.0611434 -0.001407
# ROT -0.19221  0.03090 -0.006264 -0.0739133 -0.0731548  0.074581
# CAR -0.18699  0.13388 -0.050804  0.0001803  0.0403961 -0.031005
# TAN -0.19169  0.15719  0.114415 -0.0818330  0.0142624 -0.072024
# BCO -0.20174  0.08807 -0.067086 -0.0529106  0.0737228  0.037312
# PCH -0.14717  0.05829 -0.067311 -0.0458414  0.0501013  0.031605
# GRE -0.30155 -0.01785 -0.084333 -0.0181797  0.0226500  0.126639
# GAR -0.35245 -0.14076  0.168014  0.0185946  0.0213462 -0.129788
# BBO -0.24317  0.03679 -0.082731 -0.0384489  0.0939828  0.063369
# ABL -0.42536 -0.26155 -0.054190  0.1021959 -0.0078085  0.044540
# ANG -0.20631  0.11889 -0.062079 -0.0175733  0.0718743 -0.001956
# 
# 
# Site scores (weighted sums of species scores)
# 
#          PC1      PC2      PC3      PC4       PC5       PC6
# 1   0.367401 -0.39935 -1.08857 -0.63304 -0.512027 -0.858378
# 2   0.503582 -0.05683 -0.19259 -0.43441  0.389533  0.069451
# 3   0.461709  0.02262 -0.06522 -0.49798  0.309425  0.270577
# 4   0.298336  0.15130  0.26748 -0.53196  0.003088  0.184821
# 5  -0.002222  0.07631  0.54769 -0.50936 -0.780261 -0.169353
# 6   0.212816  0.08345  0.55091 -0.42210 -0.139518 -0.104278
# 7   0.438055 -0.06114  0.15590 -0.31150  0.158686  0.036565
# 9   0.040794 -0.44269  0.89022  0.09609  0.641193 -0.646943
# 10  0.298011 -0.01094  0.56837 -0.10013 -0.088124  0.515072
# 11  0.467609 -0.12622 -0.15505  0.29459  0.325464  0.200912
# 12  0.476845 -0.07691 -0.16329  0.29384  0.360112  0.194576
# 13  0.483620  0.06649 -0.44723  0.53734  0.048587  0.182565
# 14  0.371728  0.16555 -0.21939  0.62130 -0.183604  0.364847
# 15  0.277048  0.23525  0.08928  0.61773 -0.475769  0.124107
# 16  0.077024  0.47455  0.17116  0.34361 -0.570434 -0.572740
# 17 -0.053860  0.42290  0.02810  0.42376 -0.059203 -0.586419
# 18 -0.135418  0.37780  0.03233  0.39706 -0.007199 -0.347064
# 19 -0.269281  0.30751  0.18022  0.09354  0.178657 -0.016299
# 20 -0.378830  0.19764  0.04939 -0.03438  0.157660 -0.056696
# 21 -0.409369  0.22888 -0.08401 -0.12823  0.152787  0.096105
# 22 -0.443679  0.17698 -0.13708 -0.13152  0.103294  0.030004
# 23 -0.242292 -1.11711  0.15254  0.40512  0.045573 -0.576778
# 24 -0.358333 -0.83372 -0.17314  0.27200  0.181192  0.347231
# 25 -0.325288 -0.61983  0.10487  0.01059 -1.034438  0.750325
# 26 -0.441703  0.02111 -0.13742 -0.14346  0.200775  0.244356
# 27 -0.444529  0.12735 -0.15915 -0.14112  0.179240  0.123487
# 28 -0.446407  0.12774 -0.18830 -0.15467  0.239617  0.117101
# 29 -0.355788  0.28044 -0.28006 -0.02003  0.110181  0.079568
# 30 -0.467578  0.20086 -0.29797 -0.21269  0.065512  0.003276

Fonction rda()

• RDA en 2 étapes :

  • régressions multiples
  • PCA sur les valeurs régressées

• Si on donne seulement un tableau à la fonction rda(), la fonction roule une PCA sans faire les régressions

PCA - Interprétation des sorties

• Total de variance capturée par les descripteurs (ici les espèces de poissons)
• Dans une PCA, la proportion "Total" et "Unconstrained" de variance capturée est identique

PCA - Interprétation des sorties

• Liste des valeurs propores associées à chaque Composantes Principales (ici 27 PCs sont identifiées, soit le nombre de dimensions des données)

0.258 + 0.064 + ... = 0.5025 Variance totale capturée

PCA - Interprétation des sorties

• Liste de la proportion de variance capturée par chaque Composante Principale (et la proportion cumulée)

51.3% de 0.5025 égal 0.258

PCA - Interprétation des sorties

• Il existe deux façons principales de représenter une ordination en 2D... ici la sortie R nous informe que le cadrage utilisé par défaut est de type 2...

À suivre!

PCA - Interprétation des sorties

• Species refère aux colonnes de votre jeu de données, ici différentes espèces de poissons
• Les scores correspondent aux coordonnées de chaque espèce le long de chaque PC

PCA - Interprétation des sorties

• Site réfère aux lignes de votre jeu de données, ici différentes stations d'échantillonnage le long de la rivière,
• Les scores correspondent aux coordonnées de chaque site le long de chaque PC

Accéder à une partie de la sortie R

La sortie R est très dense, mais vous pouvez accéder au besoin à des informations spécifiques. Par exemple, vous pouvez extraire les valeurs propres et leur contribution à la variance capturée :

summary(spe.h.pca, display = NULL)
# 
# Call:
# rda(X = spec.hel) 
# 
# Partitioning of variance:
#               Inertia Proportion
# Total          0.5025          1
# Unconstrained  0.5025          1
# 
# Eigenvalues, and their contribution to the variance 
# 
# Importance of components:
#                          PC1     PC2     PC3     PC4     PC5     PC6     PC7
# Eigenvalue            0.2580 0.06424 0.04632 0.03850 0.02197 0.01675 0.01472
# Proportion Explained  0.5133 0.12784 0.09218 0.07662 0.04371 0.03334 0.02930
# Cumulative Proportion 0.5133 0.64118 0.73337 0.80999 0.85370 0.88704 0.91634
#                           PC8      PC9     PC10     PC11     PC12     PC13
# Eigenvalue            0.01156 0.006936 0.006019 0.004412 0.002982 0.002713
# Proportion Explained  0.02300 0.013803 0.011978 0.008781 0.005935 0.005399
# Cumulative Proportion 0.93934 0.953144 0.965123 0.973903 0.979838 0.985237
#                           PC14     PC15     PC16      PC17      PC18      PC19
# Eigenvalue            0.001835 0.001455 0.001118 0.0008309 0.0005415 0.0004755
# Proportion Explained  0.003651 0.002895 0.002225 0.0016535 0.0010776 0.0009463
# Cumulative Proportion 0.988888 0.991783 0.994008 0.9956612 0.9967389 0.9976852
#                            PC20      PC21      PC22      PC23      PC24
# Eigenvalue            0.0003680 0.0002765 0.0002253 0.0001429 7.618e-05
# Proportion Explained  0.0007324 0.0005503 0.0004483 0.0002845 1.516e-04
# Cumulative Proportion 0.9984176 0.9989678 0.9994161 0.9997006 9.999e-01
#                           PC25      PC26      PC27
# Eigenvalue            4.99e-05 1.526e-05 9.118e-06
# Proportion Explained  9.93e-05 3.036e-05 1.814e-05
# Cumulative Proportion 1.00e+00 1.000e+00 1.000e+00
# 
# Scaling 2 for species and site scores
# * Species are scaled proportional to eigenvalues
# * Sites are unscaled: weighted dispersion equal on all dimensions
# * General scaling constant of scores:

Accéder à une partie de la sortie R

Vous pouvez calculer les valeurs propres :

eigen(cov(spec.hel))
# eigen() decomposition
# $values
#  [1] 2.579605e-01 6.424089e-02 4.632294e-02 3.850244e-02 2.196526e-02
#  [6] 1.675463e-02 1.472430e-02 1.155759e-02 6.936149e-03 6.019271e-03
# [11] 4.412388e-03 2.982309e-03 2.713021e-03 1.834874e-03 1.454670e-03
# [16] 1.117858e-03 8.308832e-04 5.415301e-04 4.755244e-04 3.680458e-04
# [21] 2.765106e-04 2.252760e-04 1.429425e-04 7.618319e-05 4.989831e-05
# [26] 1.525627e-05 9.117507e-06
# 
# $vectors
#              [,1]        [,2]        [,3]          [,4]         [,5]
#  [1,] -0.12492725 -0.11979088 -0.11047444  0.4737644443  0.070581708
#  [2,] -0.46740781 -0.01678206 -0.44554311 -0.2995735541  0.184188349
#  [3,] -0.37336215 -0.21333150  0.28111355  0.0449572376 -0.250153773
#  [4,] -0.27821421 -0.23994030  0.41323337 -0.0513364598 -0.310679865
#  [5,] -0.12173642 -0.09059800 -0.16349912  0.4526216196 -0.034716207
#  [6,] -0.05610722 -0.21147318 -0.05340233  0.4363710457  0.254947303
#  [7,]  0.13325245 -0.07077305 -0.07670861  0.0371901204 -0.169737613
#  [8,]  0.10553143 -0.25754282 -0.01860002  0.1212372044  0.001538404
#  [9,]  0.08240964 -0.22633305  0.24186207 -0.0237391101  0.491305413
# [10,]  0.06977391  0.22309480  0.41314626  0.2097008258 -0.057746857
# [11,]  0.14287815 -0.30629980 -0.09179824  0.1809168920 -0.016570564
# [12,]  0.12747277 -0.23466960 -0.05630920  0.0740741884 -0.079807600
# [13,]  0.16674041 -0.14126479  0.10908251 -0.0025902725  0.371257345
# [14,]  0.10902847 -0.18489900  0.06853886 -0.2245517214  0.248461973
# [15,]  0.11327432 -0.26201530  0.09698255 -0.1753458131  0.101990914
# [16,]  0.16468619 -0.20028850 -0.10577151 -0.0233209939 -0.197234780
# [17,]  0.16423411 -0.11885539 -0.11189266  0.0321101179 -0.151000389
# [18,]  0.13851267 -0.04462111 -0.01065276 -0.1378716381  0.180663942
# [19,]  0.13475615 -0.19333722 -0.08639631  0.0003363296 -0.099762622
# [20,]  0.13814201 -0.22699492  0.19457272 -0.1526445449 -0.035222643
# [21,]  0.14538492 -0.12717573 -0.11408552 -0.0986949356 -0.182066526
# [22,]  0.10605502 -0.08418031 -0.11446859 -0.0855088113 -0.123730627
# [23,]  0.21730821  0.02578243 -0.14341490 -0.0339108533 -0.055936589
# [24,]  0.25399136  0.20327524  0.28572212  0.0346847713 -0.052716826
# [25,]  0.17523797 -0.05313205 -0.14069192 -0.0717194255 -0.232100922
# [26,]  0.30653184  0.37769472 -0.09215443  0.1906277303  0.019284009
# [27,]  0.14867527 -0.17168899 -0.10557045 -0.0327798312 -0.177501675
#               [,6]        [,7]         [,8]        [,9]        [,10]
#  [1,] -0.053887689 -0.24810037 -0.012835717 -0.10905228 -0.095263427
#  [2,]  0.250578050  0.04342150  0.045242245 -0.01657237 -0.233552880
#  [3,] -0.296193043  0.14902952 -0.284313668 -0.21706810 -0.017643581
#  [4,] -0.136573518  0.19249109  0.035593297  0.23883835  0.107345114
#  [5,] -0.175647314 -0.35879328 -0.125731280 -0.23247198 -0.081584893
#  [6,]  0.115397447  0.02602402 -0.008985920  0.46782610  0.253931194
#  [7,] -0.027287149  0.17191656 -0.056903256  0.12241555 -0.267914356
#  [8,]  0.302432690  0.31491218 -0.121242398 -0.08140984 -0.001023017
#  [9,] -0.039296150  0.27420594  0.382252543 -0.34522935  0.075797190
# [10,]  0.113094938 -0.15366272  0.316740555 -0.19574474 -0.422805581
# [11,]  0.100219643  0.05701771  0.110743898  0.11071563  0.013570308
# [12,]  0.206160040  0.20915112 -0.127314825 -0.20541064 -0.018588210
# [13,] -0.369222609  0.06892519  0.050259104  0.21861324 -0.286513706
# [14,] -0.187310981 -0.21267218 -0.459306683  0.10824041  0.047613459
# [15,]  0.170817866 -0.15781651 -0.341981765 -0.13144198 -0.427792205
# [16,]  0.019529799  0.02492789 -0.005265647 -0.19601787  0.034928730
# [17,]  0.003979634  0.12082789  0.073067830  0.16278240 -0.215420671
# [18,] -0.210892020 -0.16084279 -0.049480403 -0.26577752  0.348175747
# [19,]  0.087671511  0.03926802  0.065931818 -0.10755312  0.076887825
# [20,]  0.203659075 -0.36689854  0.033797632  0.19059986 -0.118195939
# [21,] -0.105506691 -0.13126545  0.154555558 -0.06167506  0.189787850
# [22,] -0.089369346 -0.18747260  0.189322337 -0.11164462  0.114566376
# [23,] -0.358094688  0.03849187  0.078583251  0.14414986 -0.155532257
# [24,]  0.366999468 -0.16992091 -0.186036644  0.09141482  0.234279411
# [25,] -0.179186418 -0.05488683  0.175277903  0.16731333 -0.082295798
# [26,] -0.125944557  0.36767940 -0.361679629 -0.10571257 -0.048657458
# [27,]  0.005531863 -0.01735104  0.033932091 -0.17997124  0.055928515
#              [,11]         [,12]       [,13]         [,14]       [,15]
#  [1,]  0.064193899  9.272200e-02 -0.16614224 -1.007045e-01  0.52078261
#  [2,]  0.006090464 -1.767707e-01 -0.01500439 -2.138553e-01  0.01505748
#  [3,]  0.198674624  1.187412e-01  0.22387562  1.401732e-01 -0.03706442
#  [4,] -0.181337621 -1.793234e-01 -0.12099866 -3.195848e-01  0.11696265
#  [5,]  0.109901333 -1.909575e-01  0.01986808 -1.990958e-01 -0.21073314
#  [6,] -0.027035432  1.424063e-01  0.29676760  1.727283e-02 -0.33039629
#  [7,]  0.329498373 -1.902815e-01  0.03643482 -3.420115e-02 -0.03199007
#  [8,]  0.074565567  2.624298e-01 -0.33066385  2.194720e-01  0.18081461
#  [9,]  0.162759574 -1.177892e-02  0.22408341 -3.976988e-01  0.07703691
# [10,] -0.273052803  6.843350e-02 -0.16901293  3.681540e-02 -0.14394441
# [11,] -0.301652467 -3.531787e-01 -0.04554730  2.941090e-02  0.19171054
# [12,]  0.013541172 -9.662652e-02 -0.18461360  5.282229e-02 -0.23627348
# [13,]  0.023653254 -1.620604e-01 -0.08583841  3.682820e-01 -0.12706188
# [14,] -0.342951550  1.478914e-01 -0.29079127 -2.863970e-01  0.00525299
# [15,]  0.019534596  1.804957e-01  0.33595365  1.170536e-02 -0.03963800
# [16,] -0.058319853 -2.819689e-01 -0.01082354 -4.162952e-05 -0.23904975
# [17,]  0.155396405  2.942242e-01 -0.02065819 -2.919909e-01  0.05106059
# [18,]  0.247446631 -1.217100e-01 -0.15658543  1.691032e-01  0.12555708
# [19,] -0.109497442  2.568847e-01 -0.06684604  1.299928e-02  0.05793150
# [20,]  0.054654572 -2.904371e-01  0.21585911  2.487916e-02  0.25823489
# [21,] -0.092448479  9.914451e-05  0.17856405  1.587817e-01  0.15049262
# [22,] -0.232342259  3.477822e-01  0.18661740 -1.375730e-01 -0.18295055
# [23,]  0.205833044  2.307896e-02 -0.29488518 -2.919401e-01 -0.15684106
# [24,]  0.385104579 -7.652965e-02 -0.06032102 -2.649237e-01 -0.07243513
# [25,]  0.178519580  1.478969e-01  0.18711090  2.255094e-02  0.22092863
# [26,] -0.289091422 -1.567421e-01  0.34575306 -1.653173e-01  0.25023307
# [27,] -0.115604287 -1.656960e-01  0.02369596 -1.003356e-01 -0.21515621
#             [,16]        [,17]         [,18]       [,19]        [,20]
#  [1,] -0.22297857 -0.029695770  0.0369983843 -0.04070760 -0.073488990
#  [2,]  0.11758248 -0.094655191 -0.3039813363  0.11286530  0.299642984
#  [3,]  0.16117496 -0.495586427 -0.1044359243  0.12856875  0.013599789
#  [4,] -0.16061501  0.426591745 -0.0700878681  0.04243889  0.181772967
#  [5,]  0.11416978  0.234783573 -0.2024171014 -0.11756635 -0.011973397
#  [6,] -0.02236301 -0.025369853  0.0193321574  0.12426941  0.322316778
#  [7,]  0.32588153  0.255676104  0.0836105212 -0.01276921 -0.083323060
#  [8,]  0.05278065  0.094429985 -0.4016015744  0.08989816  0.048646388
#  [9,]  0.06586493 -0.015362879 -0.0149894684 -0.09279079 -0.102439703
# [10,]  0.21439494 -0.076520520 -0.0438275294  0.10630753  0.384704993
# [11,]  0.40582706 -0.226264310  0.2531720192  0.35500305 -0.198035086
# [12,] -0.22343643 -0.136365379  0.2231584172 -0.31860481  0.285984792
# [13,] -0.05557784  0.044039568 -0.3686499771 -0.15179616 -0.072002029
# [14,]  0.30779187 -0.117211955 -0.0130182734 -0.21646165  0.029597144
# [15,] -0.10526778  0.346563681  0.2121059495  0.30923016 -0.017471685
# [16,] -0.03403174  0.017495879 -0.1220422599  0.06909829 -0.078513734
# [17,]  0.08609131 -0.140926709  0.1227082448 -0.15559985  0.164321594
# [18,]  0.06232076  0.125052490  0.2153262828  0.24582813  0.527750155
# [19,] -0.13539555  0.053580142 -0.1421409249  0.07438860 -0.089636202
# [20,] -0.33914754 -0.320857989 -0.1424350464 -0.08650200  0.115010361
# [21,]  0.15124184  0.128069950 -0.3301085643  0.07436707  0.129946113
# [22,] -0.01113887 -0.009198274 -0.1837530613  0.12666570 -0.081687057
# [23,] -0.31488220 -0.214773321 -0.0321193373  0.49225288  0.015647490
# [24,]  0.18249725 -0.072631142 -0.2987937434  0.07741704 -0.083649110
# [25,]  0.24864024  0.021664187  0.0298929458 -0.29184758  0.250656528
# [26,] -0.10772295 -0.033545836 -0.1814804392  0.04637292  0.214002704
# [27,] -0.11681150 -0.098699646 -0.0002682813 -0.23907156  0.002993534
#             [,21]        [,22]         [,23]       [,24]        [,25]
#  [1,] -0.23699102 -0.006673203  0.2150504253  0.16746060 -0.154668929
#  [2,] -0.15419656  0.046253218 -0.0067084047  0.09885408 -0.078608286
#  [3,] -0.05256293  0.019359564  0.0157935753  0.07403182 -0.007679928
#  [4,] -0.11922265  0.034171553 -0.0921754116 -0.02641738 -0.041708919
#  [5,]  0.15675411 -0.016382824 -0.2392621523 -0.21441061  0.120130707
#  [6,]  0.10304062  0.029520263  0.1445333785  0.12969633 -0.041582122
#  [7,]  0.11447334 -0.382187902  0.0345617270  0.52628189  0.130188947
#  [8,]  0.35742023 -0.010269888 -0.2170804342 -0.18712889  0.025799589
#  [9,]  0.11857691 -0.067729604  0.0696803012 -0.03292835 -0.054141786
# [10,]  0.06410052  0.010662229  0.1013814451  0.12164894 -0.020966944
# [11,] -0.16664663  0.032456581 -0.2018014752 -0.12893277 -0.040193655
# [12,] -0.30440951 -0.426137953  0.0004305712 -0.11427417 -0.222875681
# [13,] -0.38180475  0.127858213 -0.1022442675  0.01866138  0.003199344
# [14,]  0.16015665 -0.092748003  0.1521319540  0.09192202 -0.045663839
# [15,] -0.10920996  0.100235497  0.0558832865 -0.14393925 -0.102532789
# [16,]  0.15076000  0.359021371  0.3335644539 -0.03027825 -0.182409390
# [17,] -0.22199225  0.255910958  0.0211511138 -0.22348748  0.570074992
# [18,] -0.05903632  0.130256109 -0.1931041416  0.13744937  0.157243132
# [19,] -0.09080438  0.206395852  0.0414079719  0.56114128  0.012920746
# [20,]  0.28579768 -0.143344064 -0.1585208609  0.07093030  0.162651785
# [21,] -0.14384975 -0.336903092  0.5426784348 -0.22794946  0.185841056
# [22,] -0.21430560 -0.290323080 -0.4742989109  0.09398279 -0.059637704
# [23,]  0.15837319 -0.135723150  0.0876146386 -0.09325476 -0.146564489
# [24,] -0.36618777  0.089487942  0.0042739214 -0.00175145 -0.159327548
# [25,]  0.11492131  0.195702984 -0.1191717904 -0.08069023 -0.594202836
# [26,] -0.01372967  0.005518255 -0.0851270189  0.04835800  0.010916689
# [27,]  0.02170163  0.299274679 -0.0384912363  0.19527646  0.138899872
#              [,26]        [,27]
#  [1,]  0.286444574  0.160115454
#  [2,] -0.004346981  0.020253239
#  [3,] -0.018510820  0.008667706
#  [4,]  0.012547754  0.008152367
#  [5,] -0.280152618 -0.176124136
#  [6,]  0.050969707  0.059394910
#  [7,]  0.173278980  0.050786372
#  [8,]  0.094611255  0.166874398
#  [9,] -0.034886498 -0.013455934
# [10,]  0.010993922  0.027774588
# [11,] -0.133708827  0.003576285
# [12,] -0.096209440 -0.136306223
# [13,]  0.030967117 -0.001104217
# [14,]  0.030111639 -0.022329185
# [15,] -0.067849606  0.126779482
# [16,]  0.506057486 -0.347584407
# [17,]  0.124873480 -0.177187525
# [18,]  0.102384832 -0.028288166
# [19,] -0.502490829 -0.367340373
# [20,]  0.018992525 -0.141581060
# [21,] -0.158654849  0.124060624
# [22,]  0.393638849 -0.003437816
# [23,] -0.159732210  0.104801206
# [24,] -0.033666811  0.066412841
# [25,] -0.111096800  0.012335431
# [26,]  0.010694156 -0.038642171
# [27,] -0.090405565  0.729577313

Accéder à une partie de la sortie R

Vous pouvez extraire les scores (des sites ou des espèces) pour réaliser des graphiques ou les utiliser dans de nouvelles analyses :

• Extraire le score des espèces pour PC1 et PC2 :

spe.scores <- scores(spe.h.pca,
                     display = "species",
                     choices = c(1,2))

• Extraire le score des sites pour PC1 et PC2 :

site.scores <- scores(spe.h.pca,
                      display = "sites",
                      choices = c(1,2))

Sélection des PCs significatives

• La force de la PCA est de condenser la variance contenue dans un grand jeu de données en jeu de données synthétiques moins nombreuses

• Dans notre cas, 27 PCs sont identifiées mais seules les premières contribuent de façon importante à la variance capturée tandis que les autres représentent le bruit des données et peuvent être écartées...

Comment choisir les PCs les plus importantes?

Critère de Kaiser - Guttman

Sélectionner les PCs qui capturent plus de variance que la moyenne de tous les PCs

• Extraire les valeurs propres de chaque PCs :

ev <- spe.h.pca$CA$eig

• Sélectionner les valeurs propres supérieures à la moyenne :

ev[ev>mean(ev)]
#        PC1        PC2        PC3        PC4        PC5 
# 0.25796049 0.06424089 0.04632294 0.03850244 0.02196526

Critère de Kaiser - Guttman (illustration)

n <- length(ev)
barplot(ev, main = "Valeurs propres", col = "grey", las = 2)
abline(h = mean(ev), col = "red3", lwd = 2)
legend("topright", "Valeur propore moyenne",
       lwd = 2, col = "red3" , bty = "n")

PCA - variables environnementales

Une PCA peut aussi être effectuée sur les variables environnementales standardisées pour comparer les sites ou évaluer les corrélations entre variables...

• Effectuer une PCA sur les variables environnementales standardisées

env.pca <- rda(env.z)
summary(env.pca, scaling  = 2) # default
# 
# Call:
# rda(X = env.z) 
# 
# Partitioning of variance:
#               Inertia Proportion
# Total              11          1
# Unconstrained      11          1
# 
# Eigenvalues, and their contribution to the variance 
# 
# Importance of components:
#                          PC1    PC2     PC3     PC4     PC5     PC6     PC7
# Eigenvalue            6.0980 2.1671 1.03760 0.70351 0.35185 0.31913 0.16455
# Proportion Explained  0.5544 0.1970 0.09433 0.06396 0.03199 0.02901 0.01496
# Cumulative Proportion 0.5544 0.7514 0.84570 0.90966 0.94164 0.97066 0.98561
#                           PC8      PC9     PC10      PC11
# Eigenvalue            0.11171 0.023109 0.017361 0.0060618
# Proportion Explained  0.01016 0.002101 0.001578 0.0005511
# Cumulative Proportion 0.99577 0.997871 0.999449 1.0000000
# 
# Scaling 2 for species and site scores
# * Species are scaled proportional to eigenvalues
# * Sites are unscaled: weighted dispersion equal on all dimensions
# * General scaling constant of scores:  4.189264 
# 
# 
# Species scores
# 
#          PC1     PC2       PC3      PC4      PC5      PC6
# das  1.08432  0.5148 -0.257430 -0.16170  0.21140 -0.09500
# alt -1.04356 -0.5946  0.179904  0.12274  0.12527  0.14024
# pen -0.57520 -0.5104 -0.554958 -0.80205  0.02798  0.20064
# deb  0.95767  0.6412 -0.306547 -0.19434  0.18417  0.03031
# pH  -0.05863  0.4820  1.034452 -0.51376  0.14431  0.05791
# dur  0.90722  0.6182 -0.022833  0.15761 -0.27763  0.50792
# pho  1.04604 -0.6092  0.187347 -0.11866 -0.15094  0.04919
# nit  1.14317 -0.1290  0.012045 -0.18470 -0.21343 -0.34870
# amm  0.99541 -0.6989  0.186019 -0.08271 -0.19250 -0.04935
# oxy -1.00895  0.4578 -0.009183 -0.23449 -0.50559 -0.05661
# dbo  0.98991 -0.6835  0.119635  0.03647  0.08580  0.21975
# 
# 
# Site scores (weighted sums of species scores)
# 
#         PC1      PC2      PC3      PC4      PC5      PC6
# 1  -1.41239 -1.47577 -1.74581 -2.95537  0.23122  0.49150
# 2  -1.04170 -0.81766  0.34078  0.54374  0.92518 -1.77040
# 3  -0.94878 -0.48825  1.36061 -0.21762  1.05157 -0.69842
# 4  -0.88068 -0.29459  0.21011  0.66428 -0.23902 -0.06353
# 5  -0.42586 -0.66501  0.77630  0.78778  0.63144  1.17725
# 6  -0.77727 -0.74517 -0.06763  0.90844  0.46895 -0.32998
# 7  -0.78154 -0.09447  0.39332  0.23074 -0.45171  1.17422
# 9  -0.28731 -0.47351  0.29470  1.13214  0.69989  1.05202
# 10 -0.49324 -0.44889 -1.31855  0.78932 -0.38490  0.41677
# 11 -0.28012  0.43092  0.12222 -0.11792 -1.07089  0.46021
# 12 -0.44851  0.33198 -0.53100  0.60347 -0.96624  0.11902
# 13 -0.38853  0.68557  0.10459  0.08106 -1.10784  0.84740
# 14 -0.25000  0.74161  0.88640 -0.46709 -0.96780  0.74880
# 15 -0.31334  0.93929  1.93010 -1.27074  0.06309  0.14747
# 16 -0.14333  0.31109 -0.21270  0.24369 -0.61836 -0.52781
# 17  0.08992  0.29897 -0.18640  0.23392 -0.73322 -0.44217
# 18  0.05684  0.34974 -0.22088  0.14163 -0.76214 -0.60351
# 19  0.04508  0.40785  0.12274 -0.20084 -0.49815 -0.87652
# 20  0.16121  0.36121 -0.28792 -0.05336 -0.79530 -1.36030
# 21  0.16001  0.32539 -0.74769  0.41012  0.17144 -0.90680
# 22  0.14172  0.53543 -0.08102 -0.07015  0.58783 -0.24777
# 23  1.37609 -1.19053  0.74781 -0.35057 -0.22819  0.75871
# 24  0.98255 -0.51442  0.01132  0.40988  1.01286  0.84623
# 25  2.18629 -2.04865  0.35038 -0.29562 -1.26072 -0.38758
# 26  0.88331 -0.11824 -0.64837  0.33902  0.86015 -0.14587
# 27  0.63976  0.39427 -0.15988 -0.30084  1.09735 -0.66720
# 28  0.75826  0.80550  0.51025 -0.96862  0.41900 -0.74380
# 29  0.65317  1.09395 -1.68223  0.37783  0.43878  0.65258
# 30  0.73840  1.36241 -0.27154 -0.62832  1.42571  0.87947

PCA - variables environnementales

• Extraire les valeurs propres de chaque PC :

ev <- env.pca$CA$eig

• Sélectionner les valeurs propres supérieures à la moyenne :

ev[ev>mean(ev)]
#      PC1      PC2      PC3 
# 6.097995 2.167126 1.037603

PCA - variables environnementales

• Créer le graphique :

n <- length(ev)
barplot(ev, main = "Eigenvalues", col = "grey", las = 2)
abline(h = mean(ev), col = "red3", lwd = 2)
legend("topright", "Average eigenvalue",
       lwd = 2, col = "red3" , bty = "n")

PCA - Illustration graphique

L'abondante information produite par une PCA est plus facile à comprendre et à interpréter à l'aide de biplots permettant de visualiser les patrons présents dans les données.

• Un biplot peut être rapidement créé via la fonction plot()

plot(spe.h.pca)

Biplot de PCA avec plot()

Basique biplot() de PCA

• Avec la fonction biplot() de base R, des flèches sont tracées pour montrer les directions et les angles entre descripteurs dans l'ordination

biplot(spe.h.pca)

Type de scaling

"Biplot" avancés

• En extrayant certaines parties de la sortie R, il est possible de créer des biplots plus détaillés et clairs :

plot(spe.h.pca, scaling  = 1, type = "none",
     xlab = c("PC1 (%)", round(spe.h.pca$CA$eig[1]/sum(spe.h.pca$CAeig)*100,2)),
     ylab = c("PC2 (%)", round(spe.h.pca$CA$eig[2]/sum(spe.h.pca$CA$eig)*100,2)))
points(scores(spe.h.pca, display = "sites", choices = c(1,2), scaling = 1),
       pch=21, col = "black", bg = "steelblue" , cex  = 1.2)
text(scores(spe.h.pca, display = "species", choices = 1, scaling = 1),
     scores(spe.h.pca, display = "species", choices = 2, scaling = 1),
     labels = rownames(scores(spe.h.pca, display = "species", scaling = 1)),
     col = "red", cex = 0.8)
spe.cs <- scores(spe.h.pca, choices = 1:2, scaling = 1 , display = "sp")
arrows(0, 0, spe.cs[,1], spe.cs[,2], length = 0)

voir la fonction arrows() de graphics pour ajouter des vecteurs

"Biplot" avancés

Autres options graphiques : ggvegan

• Un ensemble d'outils pour créer des biplots avec ggplot2 :

install.packages("devtools")
require("devtools")
install_github("ggvegan", "gavinsimpson")
require("ggvegan")
autoplot()

Autres options graphiques : rgl et vegan3d

Biplot interactif avec rgl

require(rgl)
require(vegan3d)
ordirgl(spe.h.pca)

Défi # 3

Exécuter une PCA sur les données d'abondance d'acariens :

data(mite)

• Quels sont les axes significatifs?
• Quels groupes de sites pouvez-vous identifier?
• Quelles espèces caractérisent ces groupes de sites?

Solution #3

• Transformation Hellinger des données :

mite.spe.hel <- decostand(mite, method = "hellinger")
mite.spe.h.pca <- rda(mite.spe.hel)

• Recherche des axes significatifs par critère de Gutman-Kaiser :

ev <- mite.spe.h.pca$CA$eig
ev[ev > mean(ev)]
n <- length(ev)
barplot(ev, main = "Valeurs propres", col = "grey", las = 2)
abline(h = mean(ev), col = "red3", lwd = 2)
legend("topright", "Valeur propre moyenne", lwd = 2, col = "red3", bty = "n")

Solution #3

Solution #3

biplot(mite.spe.h.pca, col = c("red3", "grey15"))

Attention

• La PCA est une méthode linéaire basée sur quelques hypothèse clefs :

  • distribution multinormale des données (seulement pour faire des inférences)

  • nombre limité de zéros

  • le gradient d'intérêt doit causer la majorité de la variance dans le jeu de données

Attention

• Certains de ces problèmes peuvent être réglés en utilisant des transformations appropriées des données avant d'effectuer une PCA

• Dans certains cas, tels que les études couvrant de longs gradients environnementaux, il est préférable d'utiliser d'autres méthodes d'ordination non-contraintes (ex. CA)

4.1. Analyse des Correspondances (CA)

Distances euclidiennes vs distances de Chi²

• La PCA préserves les distances euclidiennes entre objets et postule une relation linéaire entre descripteurs

• ...mais dans certains cas (ex. gradients longs), les espèces présentent une réponse unimodale aux gradients environnementaux

Principes de la CA

• Dans de tels cas, la CA devrait être préférée à la PCA car elle préserve les distances de Chi2 entre objets... et représente donc mieux les réponses unimodales

Comment effectuer une CA?

• La CA est implémentée dans la librairie vegan par la fonction cca():

spe.ca <- cca(spe[-8,])
# prend seulement les colonnes dont rowsums est > à 0.

• CA effectuée sur les abondances de poissons

CA: sortie de R

• Les résultats d'une CA sont présentés de la même manière qu'une PCA et peuvent être appelés par :

summary(spe.ca)
# 
# Call:
# cca(X = spe[-8, ]) 
# 
# Partitioning of scaled Chi-square:
#               Inertia Proportion
# Total           1.128          1
# Unconstrained   1.128          1
# 
# Eigenvalues, and their contribution to the scaled Chi-square 
# 
# Importance of components:
#                          CA1    CA2     CA3     CA4     CA5     CA6     CA7
# Eigenvalue            0.6062 0.1423 0.10251 0.07319 0.04912 0.03909 0.03341
# Proportion Explained  0.5374 0.1262 0.09087 0.06488 0.04354 0.03465 0.02962
# Cumulative Proportion 0.5374 0.6635 0.75437 0.81925 0.86279 0.89745 0.92706
#                           CA8     CA9     CA10     CA11     CA12     CA13
# Eigenvalue            0.01709 0.01302 0.010765 0.008141 0.007533 0.005820
# Proportion Explained  0.01515 0.01154 0.009543 0.007217 0.006678 0.005159
# Cumulative Proportion 0.94221 0.95375 0.963294 0.970511 0.977188 0.982347
#                           CA14     CA15     CA16     CA17     CA18     CA19
# Eigenvalue            0.004765 0.004444 0.003262 0.002268 0.001663 0.001376
# Proportion Explained  0.004224 0.003939 0.002892 0.002011 0.001474 0.001219
# Cumulative Proportion 0.986571 0.990510 0.993402 0.995413 0.996887 0.998106
#                            CA20      CA21      CA22      CA23      CA24
# Eigenvalue            0.0010054 0.0004515 0.0002976 0.0001528 0.0001455
# Proportion Explained  0.0008913 0.0004003 0.0002638 0.0001355 0.0001290
# Cumulative Proportion 0.9989973 0.9993976 0.9996614 0.9997969 0.9999258
#                            CA25      CA26
# Eigenvalue            5.671e-05 2.694e-05
# Proportion Explained  5.027e-05 2.388e-05
# Cumulative Proportion 1.000e+00 1.000e+00
# 
# Scaling 2 for species and site scores
# * Species are scaled proportional to eigenvalues
# * Sites are unscaled: weighted dispersion equal on all dimensions
# 
# 
# Species scores
# 
#          CA1       CA2       CA3       CA4      CA5      CA6
# CHA  1.49168  1.385259 -0.433809  0.071078 -0.24616  0.05168
# TRU  1.65415 -0.516649 -0.440526 -0.159605  0.21034 -0.49677
# VAI  1.29689 -0.287854  0.081677  0.039670 -0.04216  0.33505
# LOC  1.01655 -0.318047  0.345002  0.064349  0.07146  0.25276
# OMB  1.54572  1.331279 -1.009750  0.022603 -0.36894  0.38992
# BLA  0.99242  1.488077  0.395856 -0.002786  0.03087 -0.42919
# HOT -0.54197  0.037905 -0.007131  0.189457  0.34781  0.12443
# TOX -0.17940  0.440408  0.666475 -0.157195  0.59702 -0.09090
# VAN  0.01649  0.115139  0.632750  0.027180 -0.28562 -0.25295
# CHE -0.01016 -0.003287  0.087052  0.360355 -0.09299  0.04720
# BAR -0.32772  0.280531  0.087903 -0.134099  0.20162  0.02136
# SPI -0.37673  0.235208  0.296247 -0.251569  0.46512  0.10939
# GOU -0.31588  0.025703  0.089443  0.122259 -0.11758 -0.02693
# BRO -0.25636 -0.209762  0.076551 -0.128801 -0.37914 -0.08203
# PER -0.28362 -0.136097  0.304122 -0.263493 -0.25323 -0.04680
# BOU -0.59482  0.018329 -0.133101 -0.259428  0.15559  0.13556
# PSO -0.57898  0.049761 -0.180659 -0.080819  0.16908  0.02711
# ROT -0.61086 -0.155369 -0.062639 -0.139514 -0.40987 -0.16073
# CAR -0.57134  0.067623 -0.114447 -0.368663  0.11556  0.03287
# TAN -0.38717 -0.126068  0.088482 -0.142953 -0.22493 -0.01394
# BCO -0.69346 -0.064062 -0.326351 -0.337945 -0.02336  0.07199
# PCH -0.72297 -0.058647 -0.458970 -0.536212 -0.09385  0.05842
# GRE -0.68487 -0.073615 -0.386296  0.125350  0.02339  0.01566
# GAR -0.48338 -0.092189  0.075212  0.244705 -0.12215 -0.09479
# BBO -0.70069 -0.077202 -0.373887 -0.141038  0.02316  0.06521
# ABL -0.62469 -0.051667 -0.268265  0.765808  0.17809 -0.07415
# ANG -0.62735 -0.004040 -0.227844 -0.315380  0.09477  0.11331
# 
# 
# Site scores (weighted averages of species scores)
# 
#         CA1      CA2       CA3       CA4      CA5       CA6
# 1   2.72880 -3.63047 -4.297575 -2.180558  4.28251 -12.70718
# 2   2.26939 -2.74567 -0.683635 -0.508114  1.86199  -0.82146
# 3   2.01894 -2.55716  0.004459 -0.347298  1.04225   0.59661
# 4   1.28757 -1.97139  0.649261 -0.366438 -0.69066   0.85344
# 5   0.08260 -0.91883  1.609565 -0.009607 -3.62098  -1.54952
# 6   1.03028 -1.62206  1.049551  0.285131 -0.94420   0.82432
# 7   1.91231 -2.28949  0.346864  0.059722  1.09657  -0.13682
# 10  1.24958 -1.35061  1.947791  1.125968 -0.79586   2.58731
# 11  2.12864 -0.19558 -1.779393  0.246236 -0.32251   1.37538
# 12  2.16190  0.16511 -1.786342  0.125825 -0.17453   1.13375
# 13  2.29162  1.87949 -2.161318 -0.191687 -0.59319   0.15032
# 14  1.85861  2.19432 -1.472445  0.084282 -1.00562   0.53827
# 15  1.33811  1.87052  0.341352  0.449315 -0.93504  -0.62573
# 16  0.70115  1.57032  2.113072 -0.238157  0.62925  -1.83993
# 17  0.29051  0.86531  1.368926 -0.167800  1.64807   0.17059
# 18  0.05651  0.68479  0.965786 -0.005014  1.08092   0.60339
# 19 -0.19970  0.05475  1.064683  0.458458  0.92614   0.60861
# 20 -0.57263 -0.02434  0.359285  0.408580  0.48971   0.14790
# 21 -0.66495 -0.07911 -0.028650 -0.080409  0.05745   0.03087
# 22 -0.71075 -0.04983 -0.163794 -0.180754 -0.05923  -0.05610
# 23 -0.71881 -0.34926 -0.912791  7.297949  0.71786  -1.25267
# 24 -0.83779 -0.26250 -1.470892  4.899937  1.26149  -0.41743
# 25 -0.68011 -0.33390 -0.180281  3.764841 -1.79032  -1.86951
# 26 -0.75038 -0.23767 -0.702769  0.601903 -0.13132   0.06362
# 27 -0.74233 -0.14481 -0.559979 -0.081360 -0.19911   0.05064
# 28 -0.76945 -0.14800 -0.716897 -0.406389 -0.11339   0.18430
# 29 -0.59922  0.12766 -0.437857 -0.646721  0.08057   0.07932
# 30 -0.79734 -0.08325 -0.436074 -1.168606 -0.21617   0.01955

CA: Interprétation des résultats

CA: biplots

Défi #4

Exécuter une CA sur les données d'abondance des espèces d'acariens

mite.spe <- mite

• Quels sont les axes importants?
• Quels groupes de sites se distinguent?
• Quelles espèces caractérisent chaque groupe de site?

Solution #4

• Calcule de la CA:

mite.spe.ca <- cca(mite.spe)

• Recherche des axes significatifs par critère de Guttman-Kaiser :

ev <- mite.spe.ca$CA$eig
ev[ev > mean(ev)]
n <- length(ev)
barplot(ev, main = "Valeurs propres", col = "grey", las = 2)
abline(h = mean(ev), col = "red3", lwd = 2)
legend("topright", "Valeur propre moyenne", lwd = 2, col = red3, bty = "n")

Solution #4

4.3. Analyse en Coordonnées Principales

• En PCA, le maximum de la variation des données est préservée

• En PCoA, la distance entre objets est préservée autant que possible dans un espace multidimensionnel

La PCoA est particulièrement consille pour des jeux de données plus larges que longs (problème typique en génétique)

PCoA - Essayons avec les données Poissons!

• Les fonctions cmdscale() et pcoa(), des librairies stats et ape permettent d'effectuer une PCoA:

?cmdscale
library(ape)
?pcoa

• Effectuer une PCoA sur les abondances de poissons transformées Hellinger

spe.h.pcoa <- pcoa(dist(spec.hel))
summary(spe.h.pcoa)
#            Length Class      Mode     
# correction   2    -none-     character
# note         1    -none-     character
# values       5    data.frame list     
# vectors    783    -none-     numeric  
# trace        1    -none-     numeric

PCoA - Interprétation des sorties R

• Valeurs propres
• Valeurs propres relatives
• Modèle broken stick: évalue les axes significatifs
• Valeurs propres cumulées: cumul des valeurs propres relatives
• Broken stick cumulés: cumul des valeurs du modèle broken stick

PCoA - Interprétation des sorties R

-Vecteurs : Vecteurs propres associés à chaque valeur propre contenant les coordonnées de chaque site dans l'espace euclidien.

Ce sont les résultats les plus utiles pour des analyses subséquentes puisqu'ils capturent fidèlement la distance entre objets.

Biplot de PCoA avec biplot.pcoa()

La fonction biplot.pcoa() permet de visualiser en 2D les distances entre sites, et les espèces associées à chaque site

biplot.pcoa(spe.h.pcoa, spec.hel)

PCoA et distances non-métriques

• La PCoA peut aussi être utilisée pour capturer de l'information à partir de distance non-métriques, telles que la distance de Bray-Curtis. Essayons :

spe.bray.pcoa <- pcoa(spe.db.pa)
# spe.bray.pcoa

• Observer la sortie R et noter la présence de valeurs propres négatives. Elles sont liées à l'impossibilité de représenter des distances non-métriques dans un espace euclidien sans corrections (voir Legendre & Legendre 2012) :

spe.bray.pcoa <- pcoa(spe.db.pa, correction = "cailliez")
# spe.bray.pcoa

PCoA et distances non-métriques

• Construisons maintenant le biplot (sans espèces)

biplot.pcoa(spe.bray.pcoa)

Défi #5

Exécuter une PCoA sur les données d'abondances des espèces d'acariens transformées Hellinger.

• Quels sont les axes importants?
• Quels groupes de sites pouvez-vous identifier?
• Quelles espèces sont liées à chaque groupe de sites?
• Comment les résultats de cette PCoA se comparent-ils avec ceux de la PCA?

Solution #5

• Transformation Hellinger pour les données espèces

mite.spe.hel <- decostand(mite.spe, method = "hellinger")

• Calcul de la PCoA

mite.spe.h.pcoa <- pcoa(dist(mite.spe.hel))

Solution #5

• Biplot pour visualiser les données:

biplot.pcoa(mite.spe.h.pcoa, mite.spe.hel)

Positionnement multidimensionnel non-métrique (NMDS)

• En PCA, CA et PCoA, les objets sont ordonnés dans un petit nombre de dimensions (i.e. axes) généralement > 2

• En conséquence, les biplots 2D ne représentent pas toute la variation présente dans les données.

• Parfois, l'objectif est cependant de représenter les données dans un nombre défini de dimensions.

• Comment effectuer une ordination pour illustrer l'ensemble de la variation des données ?

Principe du NMDS

• NMDS

  • équivalent non-métrique de la PCoA
  • basé sur un algorithme itératif d'optimisation pour identifier la meilleure représentation possible des données dans l'espace d'ordination de plus en plus populaire

• Dans un nMDS, l'utilisateur peut ainsi spécifier:

  • le nombre de dimensions
  • la mesure de distance

Effectuer un NMDS

• La fonction metaMDS() de la librairie vegan permet de réaliser un NMDS
  • distance spécifie la mesure de distance choisie
  • k spécifie le nombre de dimensions

spe.nmds <- metaMDS(spe, distance = 'bray', k = 2)
# Run 0 stress 0.07478058 
# Run 1 stress 0.1124391 
# Run 2 stress 0.1127638 
# Run 3 stress 0.120581 
# Run 4 stress 0.07477835 
# ... New best solution
# ... Procrustes: rmse 0.001073915  max resid 0.005160002 
# ... Similar to previous best
# Run 5 stress 0.07429471 
# ... New best solution
# ... Procrustes: rmse 0.02379294  max resid 0.09228435 
# Run 6 stress 0.1209567 
# Run 7 stress 0.1124437 
# Run 8 stress 0.08927212 
# Run 9 stress 0.1121906 
# Run 10 stress 0.1127533 
# Run 11 stress 0.1111093 
# Run 12 stress 0.07506894 
# Run 13 stress 0.1152172 
# Run 14 stress 0.1203424 
# Run 15 stress 0.1196795 
# Run 16 stress 0.1125703 
# Run 17 stress 0.08797467 
# Run 18 stress 0.08801669 
# Run 19 stress 0.08801693 
# Run 20 stress 0.07478026 
# ... Procrustes: rmse 0.02374756  max resid 0.09294404 
# *** No convergence -- monoMDS stopping criteria:
#     20: stress ratio > sratmax

NMDS : qualité de l'ajustement

• Le NMDS applique une procédure itérative qui vise à positionner les objets dans le nombre spécifié de dimensions de façon à minimiser une fonction de stress (variant de 0 à 1) qui mesure la qualité de l'ajustement de la distance entre objets dans l'espace d'ordination.

• Ainsi, plus la valeur du stress sera faible, plus la représentation des objets dans l'espace d'ordination sera exacte.

NMDS : qualité de l'ajustement

• La valeur de stress et le diagramme de Shepard peuvent être obtenus avec :

spe.nmds$stress
# [1] 0.07429471
stressplot(spe.nmds, main = "Shepard plot")

NMDS sur les données Poissons

• Effectuer le NMDS et vérifier la qualité de l'ajustement

spe.nmds <- metaMDS(spe, distance = 'bray', k = 2)
spe.nmds$stress
stressplot(spe.nmds, main = "Shepard plot")

NMDS sur les données Poissons

NMDS sur les données Poissons

• Construction du biplot

plot(spe.nmds, type = "none",
     main = paste("NMDS/Bray - Stress =",
                  round(spe.nmds$stress, 3)),
     xlab = c("NMDS1"), ylab = "NMDS2")
points(scores(spe.nmds, display = "sites",
              choiches = c(1,2),
              pch = 21,
              col = "black",
              g = "steelblue",
              cex = 1.2))
text(scores(spe.nmds, display = "species", choices = c(1)),
            scores(spe.nmds, display = "species", choices = c(2)),
            labels = rownames(scores(spe.nmds, display = "species")),
            col = "red", cex = 0.8)

NMDS sur les données Poissons

Défi #6

• Exécuter un NMDS sur les données d'abondance des espèces d'acariens en deux dimensions à partir de distances de Bray-Curtis.

• Évaluer la qualité de l'ajustement et interpréter le biplot

Solution #6

Solution #6

Conclusion

Beaucoup de méthodes d'ordination existent mais leurs spécificités doivent guider le choix de la méthode à utiliser :

C'est l'heure du quiz !

Que signifie PCA?

Principal Component Analysis

Laquelle de ces méthodes est la meilleure pour visualiser les distances entre composition des communautés de différents sites?

Principal Coordinate Analysis (PCoA)

Que représente une valeur propre dans une PCA ?

La proportion de variance capturée par une composante principale

C'est l'heure du quiz !

Trouvez l'erreur!

C'est l'heure du quiz !

Trouvez l'erreur!

Live Long and Ordinate